Scientific review on the Complex Eikonal, and research perspectives for the Ionospheric Ray-tracing and Absorption

Abstract

Scientific review on the Complex Eikonal, and research perspectives for the Ionospheric Ray-tracing and Absorption he present paper conducts a scientific review on the complex eikonal, extrapolating the research perspectives on the ionospheric ray-tracing and absorption. As regards the scientific review, the eikonal equation is expressed, and some complex-valued solutions are defined corresponding to complex rays and caustics. Moreover, the geometrical optics is compared to the beam tracing method, introducing the limit of the quasi-isotropic and paraxial complex optics approximations. Finally, the quasi-optical beam tracing is defined as the complex eikonal method applied to ray-tracing, discussing the beam propagation in a cold magnetized plasma. As regards the research perspectives, this paper proposes to address the following scientific problem: in absence of electromagnetic (e.m.) sources, consider a material medium which is time invariant, linear, optically isotropic, generally dispersive in frequency and inhomogeneous in space, with the additional condition that the refractive index is assumed varying even strongly in space. The paper continues the topics discussed by Bianchi et al. [2009], proposing a novelty with respect to the other referenced bibliography: indeed, the Joule’s effect is assumed non negligible, so the medium is dissipative, and its electrical conductivity is not identically zero. In mathematical terms, the refractive index belongs to the field of complex numbers. The dissipation plays a significant role, and even the eikonal function belongs to the complex numbers field. Under these conditions, for the first time to the best of our knowledge, suitable generalized complex eikonal and transport equations are derived, never discussed in literature. Moreover, in order to solve the ionospheric ray-tracing and absorption problems, we hint a perspective viewpoint. The complex eikonal equations are derived assuming the medium as optically isotropic. However, in agreement with the quasi isotropic approximation of geometrical optics, these equations can be referred to the Appleton-Hartree’s refractive index for an ionospheric magneto-plasma, which becomes only weakly anisotropic in the presence of Earth’s magnetic induction field. Finally, a simple formula is deduced for a simplified problem. Consider a flat layering ionospheric medium, so without any horizontal gradient. The paper proposes a new formula, useful to calculate the amplitude absorption due to the ionospheric D-layer, which can be approximately modelled by a linearized complex refractive index, because covering a short range of heights, between h1= 50 km and h2= 80 km about.
Uesto articolo presenta una rassegna scientifica sull’iconale complessa, estrapolando prospettive di ricerca sul ray-tracing e
l’assorbimento in ionosfera. Per quanto riguarda la rassegna scientifica, viene presentata l’equazione dell’iconale e vengono proposte alcune soluzioni a valori complessi corrispondenti ai raggi complessi ed alle caustiche complesse. Inoltre, la geometria ottica viene
confrontata con il metodo del beam-tracing, introducendo il limte delle approssimazioni di ottica quasi-isotropica e parassiale complessa. Infine, viene definito il beam tracing quasi-ottico come il metodo dell’iconale complessa applicato al ray-tracing, discutendo la propagazione di un fascio in un plasma freddo magnetizzato. Per quanto riguarda le prospettive di ricerca, questo articolo si propone di affrontare il seguente problema scientifico: in assenza di sorgenti elettromagnetiche (e.m.), si consideri un mezzo materiale che sia invariante nel tempo, lineare, otticamente isotropo, generalmente dispersivo in frequenza e disomogeneo nello spazio, con la condizione aggiuntiva che l’indice di rifrazione vari anche fortemente nello spazio. L’articolo prosegue gli argomenti discussi da Bianchi et al. [2009], proponendo una novità rispetto al resto della bibliografia citata: infatti, si assume che l’effetto Joule non sia trascurabile, cosicchè il mezzo sia dissipativo, e la sua conducibilità elettrica non sia nulla. In termini matematici, l’indice di rifrazione appartiene al campo dei numeri complessi. La dissipazione gioca un ruolo importante, ed anche la funzione dell’iconale appartiene al campo dei numeri complessi. Sotto queste condizioni, per la prima volta secondo nostra conoscenza, vengono derivate opportune equazioni generalizzate per l’iconale complessa e di trasporto, mai discusse in letteratura. Inoltre, al fine di risolvere I problemi del ray-tracing e dell’assorbimento in ionosfera, suggeriamo un punto di vista prospettico per cui, anche se le equazioni dell’iconale complessa vengono derivate assumendo il mezzo come otticamente isotropo, comunque, secondo l’approsimazione quasi-isotropica dell’ottica geometrica, queste equazioni possono essere riferite all’indice di rifrazione di Appleton-Hartree per un magneto-plasma ionosferico, qualora divenga solo debolmente anisotropo in presenza del campo di induzione magnetico della Terra. Infine, viene dedotta una formula semplice per un problema semplificato. Si consideri un mezzo ionosferico a stratificazione piana, quindi senza gradienti orizzontali. L’articolo propone una nuova formula, utile per calcolare l’assorbimento in ampiezza dovuto allo strato D ionosferico che può essere approssimativamente modellato con un indice di
rifrazione complesso linearizzato, in quanto copre un breve intervallo di altezze, tra h1= 50 km e h2= 80 km circa.